Completar el cuadrado - Ecuaciones 2.0

Las ecuaciones cuadráticas, que son aquellas en las que la incógnita está elevada al cuadrado, son de gran importancia en matemáticas y tienen diversas aplicaciones en diferentes campos. Uno de los métodos más poderosos y versátiles para resolver ecuaciones cuadráticas es el método de completar el cuadrado. Este método se basa en transformar una ecuación cuadrática en una forma que permita encontrar fácilmente la solución.

Contenido

¿Qué es un trinomio cuadrado perfecto?

Un trinomio cuadrado perfecto es una expresión algebraica de la forma $ax^2 + bx + c$ donde $a$ , $b$ , y $c$ son constantes, y $a \neq 0$ . Este tipo de trinomio puede ser factorizado como el cuadrado de un binomio. Es decir, puede expresarse como $(px + q)^2$ donde $p$ y $q$ son también constantes. Un trinomio cuadrado perfecto tiene la forma de un cuadrado geométrico perfecto, de ahí su nombre.

¿En qué consiste el método de completar el cuadrado?

El método de completar el cuadrado es una técnica utilizada para resolver ecuaciones cuadráticas transformándolas en trinomios cuadrados perfectos. La idea principal es agregar y sustraer términos estratégicamente en la ecuación original para convertirla en un trinomio cuadrado perfecto. Esto facilita la resolución de la ecuación, ya que permite obtener la solución directamente mediante la identificación de un binomio al cuadrado.

¿Cómo completar un trinomio cuadrado perfecto?

Para completar un trinomio cuadrado perfecto, seguimos estos pasos:

Asegúrate de que el coeficiente principal $a$ del término cuadrático sea igual a 1. Si no lo es, divide todos los términos de la ecuación por $a$ .
Agrupa los términos que contienen la incógnita y deja el término constante solo en un lado de la ecuación.
Agrega y sustrae el cuadrado del coeficiente del término lineal ( $b$ ) dividido por 2, elevado al cuadrado. Esto se hace para completar el trinomio cuadrado perfecto.
Factoriza el trinomio cuadrado perfecto.
Resuelve la ecuación encontrando la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación.

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Ejercicios con el método: completar el cuadrado

Ejercicio 1: Resuelve la ecuación $3x^2 + 12x + 9 = 0$ utilizando el método de completar el cuadrado.

Solución

Para resolver la ecuación $3x^2 + 12x + 9 = 0$ utilizando el método de completar el cuadrado, seguiremos estos pasos:

Paso 1: Nos aseguramos de que el coeficiente de la incógnita cuadrada sea 1. Dado que este coeficiente es 3, dividimos la ecuación por 3.

$3x^2 + 12x + 9 = 0$

$\frac{3x^2}{3} + \frac{12x}{3} + \frac{9}{3} = \frac{0}{3}$

$x^2 + 4x + 3 = 0$

Paso 2: Agrupamos los términos que contienen la incógnita $x$ y dejamos el término constante solo en un lado de la ecuación:

$x^2 + 4x = -3$

Paso 3: Para completar el cuadrado, sumamos y restamos el cuadrado de la mitad del coeficiente del término lineal (en este caso, $4/2 = 2$ ). Es decir, añadimos y restamos $2^2 = 4$ :

$x^2 + 4x + 4 - 4 = -3$

Paso 4: Factorizamos el trinomio cuadrado perfecto formado por los primeros tres términos:

$(x + 2)^2 - 4 = -3$

Paso 5: Simplificamos la ecuación y resolvemos:

$(x + 2)^2 - 4 = -3$

Sumamos 4 a ambos lados de la ecuación:

$(x + 2)^2 = 1$

Tomamos la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación:

$x + 2 = \pm \sqrt{1}$

$x + 2 = \pm 1$

Despejamos $x$ :

$x = -2 \pm 1$

Por lo tanto, las soluciones de la ecuación $3x^2 + 12x + 9 = 0$ son:
$x = -2 + 1=-1$ y $x = -2 - 1 = -3$ .

Ejercicio 2: Resuelve la ecuación $x^2 + 4x - 12 = 0$ utilizando el método de completar el cuadrado.

Solución

Paso 1: Asegurarnos de que el coeficiente de la incógnita cuadrada sea 1. Como ya lo es, pasamos al siguiente paso.

Paso 2: Agrupamos los términos que contienen la incógnita $x$ y dejamos el término constante solo en un lado de la ecuación:

$x^2 + 4x = 12$

Paso 3: Completamos el cuadrado sumando y restando el cuadrado de la mitad del coeficiente del término lineal ( $4/2 = 2$ ):

$x^2 + 4x + 4 - 4 = 12$

Paso 4: Factorizamos el trinomio cuadrado perfecto formado por los primeros tres términos:

$(x + 2)^2 - 4 = 12$

Paso 5: Simplificamos y resolvemos:

$(x + 2)^2 = 16$

Tomamos la raíz cuadrada de ambos lados:

$x + 2 = \pm \sqrt{16}$

$x + 2 = \pm 4$

Despejamos $x$ :

$x = -2 + 4 = 2$

$x = -2 - 4 = -6$

Por lo tanto, las soluciones de la ecuación $x^2 + 4x - 12 = 0$ son $x = 2$ y $x = -6$ .

Ejercicio 3: Resuelve la ecuación $2x^2 + 8x + 6 = 0$ utilizando el método de completar el cuadrado.

Solución

Paso 1: Dividimos toda la ecuación por el coeficiente de $x^2$ para asegurarnos de que sea 1.

$2x^2 + 8x + 6 = 0$

$\frac{2x^2}{2} + \frac{8x}{2} + \frac{6}{2} = 0$

$x^2 + 4x + 3 = 0$

Paso 2: Agrupamos los términos que contienen la incógnita $x$ :

$x^2 + 4x = -3$

Paso 3: Completamos el cuadrado añadiendo y restando el cuadrado de la mitad del coeficiente del término lineal ( $4/2 = 2$ ):

$x^2 + 4x + 4 - 4 = -3$

Paso 4: Factorizamos el trinomio cuadrado perfecto formado por los primeros tres términos:

$(x + 2)^2 - 4 = -3$

Paso 5: Simplificamos y resolvemos:

$(x + 2)^2 = 1$

Tomamos la raíz cuadrada de ambos lados:

$x + 2 = \pm \sqrt{1}$

$x + 2 = \pm 1$

Despejamos $x$ :

$x = -2 + 1 = -1$

$x = -2 - 1 = -3$

Por lo tanto, las soluciones de la ecuación $2x^2 + 8x + 6 = 0$ son $x = -1$ y $x = -3$ .

Ejercicio 4: Resuelve la ecuación $4x^2 - 8x - 12 = 0$ utilizando el método de completar el cuadrado.

Solución

Paso 1: Dividimos toda la ecuación por el coeficiente de $x^2$ para asegurarnos de que sea 1.

$4x^2 - 8x - 12 = 0$

$\frac{4x^2}{4} - \frac{8x}{4} - \frac{12}{4} = 0$

$x^2 - 2x - 3 = 0$

Paso 2: Agrupamos los términos que contienen la incógnita $x$ :

$x^2 - 2x = 3$

Paso 3: Completamos el cuadrado añadiendo y restando la mitad del coeficiente del término lineal ( $-2/2 = -1$ ) elevado al cuadrado:

$x^2 - 2x + 1 - 1 = 3$

Paso 4: Factorizamos el trinomio cuadrado perfecto formado por los primeros tres términos:

$(x - 1)^2 - 1 = 3$

Paso 5: Simplificamos y resolvemos:

$(x - 1)^2 = 4$

Tomamos la raíz cuadrada de ambos lados:

$x - 1 = \pm \sqrt{4}$

$x - 1 = \pm 2$

Despejamos $x$ :

$x = 1 + 2 = 3$

$x = 1 - 2 = -1$

Por lo tanto, las soluciones de la ecuación $4x^2 - 8x - 12 = 0$ son $x = 3$ y $x = -1$ .

Ejercicio 5: Resuelve la ecuación $x^2 - 2x + 5 = 0$ utilizando el método de completar el cuadrado.

Solución

Paso 1: Asegurarnos de que el coeficiente de la incógnita cuadrada sea 1. Como ya lo es, pasamos al siguiente paso.

Paso 2: Agrupamos los términos que contienen la incógnita $x$ y dejamos el término constante solo en un lado de la ecuación:

$x^2 - 2x = -5$

Paso 3: Completamos el cuadrado sumando y restando la mitad del coeficiente del término lineal ( $-2/2 = -1$ ) elevado al cuadrado:

$x^2 - 2x + 1 - 1 = -5$

Paso 4: Factorizamos el trinomio cuadrado perfecto formado por los primeros tres términos:

$(x - 1)^2 - 1 = -5$

Paso 5: Simplificamos y resolvemos:

$(x - 1)^2 = -4$

Esta ecuación no tiene soluciones reales, ya que el cuadrado de un número real siempre es mayor o igual a cero. Por lo tanto, la ecuación $x^2 - 2x + 5 = 0$ no tiene soluciones reales.

Ejercicio 6: Resuelve la ecuación $2x^2 + 4x + 2 = 0$ utilizando el método de completar el cuadrado.

Solución

Paso 1: Dividimos toda la ecuación por el coeficiente de $x^2$ para asegurarnos de que sea 1.

$2x^2 + 4x + 2 = 0$

$\frac{2x^2}{2} + \frac{4x}{2} + \frac{2}{2} = 0$

$x^2 + 2x + 1 = 0$

Paso 2: Agrupamos los términos que contienen la incógnita $x$ :

$x^2 + 2x = -1$

Paso 3: Completamos el cuadrado añadiendo y restando la mitad del coeficiente del término lineal ( $2/2 = 1$ ) elevado al cuadrado:

$x^2 + 2x + 1 - 1 = -1$

Paso 4: Factorizamos el trinomio cuadrado perfecto formado por los primeros tres términos:

$(x + 1)^2 - 1 = -1$

Paso 5: Simplificamos y resolvemos:

$(x + 1)^2 = 0$

Tomamos la raíz cuadrada de ambos lados:

$x + 1 = \pm \sqrt{0}$

$x + 1 = 0$

Despejamos $x$ :

$x = -1$

Por lo tanto, la única solución de la ecuación $2x^2 + 4x + 2 = 0$ es $x = -1$ .

Ejercicio 7: Resuelve la ecuación $x^2 - 8x + 16 = 0$ utilizando el método de completar el cuadrado.

Solución

Paso 1: Asegurarnos de que el coeficiente de la incógnita cuadrada sea 1. Como ya lo es, pasamos al siguiente paso.

Paso 2: Agrupamos los términos que contienen la incógnita $x$ y dejamos el término constante solo en un lado de la ecuación:

$x^2 - 8x = -16$

Paso 3: Completamos el cuadrado sumando y restando la mitad del coeficiente del término lineal ( $-8/2 = -4$ ) elevado al cuadrado:

$x^2 - 8x + 16 - 16 = -16$

Paso 4: Factorizamos el trinomio cuadrado perfecto formado por los primeros tres términos:

$(x - 4)^2 - 16 = -16$

Paso 5: Simplificamos y resolvemos:

$(x - 4)^2 = 0$

Tomamos la raíz cuadrada de ambos lados:

$x - 4 = \pm \sqrt{0}$

$x - 4 = 0$

Despejamos $x$ :

$x = 4$

Por lo tanto, la única solución de la ecuación $x^2 - 8x + 16 = 0$ es $x = 4$ .

Ejercicio 8: Resuelve la ecuación $2x^2 + 6x + 3 = 0$ utilizando el método de completar el cuadrado.

Solución

Paso 1: Dividimos toda la ecuación por el coeficiente de $x^2$ para asegurarnos de que sea 1.

$2x^2 + 6x + 3 = 0$

$\frac{2x^2}{2} + \frac{6x}{2} + \frac{3}{2} = 0$

$x^2 + 3x + \frac{3}{2} = 0$

Paso 2: Agrupamos los términos que contienen la incógnita $x$ :

$x^2 + 3x = -\frac{3}{2}$

Paso 3: Completamos el cuadrado añadiendo y restando la mitad del coeficiente del término lineal ( $3/2 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$ ) elevado al cuadrado:

$x^2 + 3x + \frac{9}{4} - \frac{9}{4} = -\frac{3}{2}$

Paso 4: Factorizamos el trinomio cuadrado perfecto formado por los primeros tres términos:

$(x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} = -\frac{3}{2}$

Paso 5: Simplificamos y resolvemos:

$(x + \frac{3}{2})^2 = -\frac{3}{4}$

Esta ecuación no tiene soluciones reales, ya que el cuadrado de un número real siempre es mayor o igual a cero. Por lo tanto, la ecuación $2x^2 + 6x + 3 = 0$ no tiene soluciones reales.