Ecuaciones cuadráticas por factorización Teoría + Ejercicios

Dentro de los métodos de resolución de ecuaciones cuadráticas se encuentran la factorización, la cual estudiaremos a continuación.

Ecuación cuadrática por factorización

Recordemos que la factorización son todas esas técnica o métodos aplicados a una expresión algebraica para lograr la descomposición en factores y presentarla en forma de producto, que para el caso trabajaríamos con una ecuación cuadrática o de segundo grado.

Es de acotar que la ecuación de segundo grado su denotación general es $ax^{2}+bx+c=0$ , donde aplicando la factorización llevaríamos la expresión a una de menor grado, de esta forma determinar las raíces siendo esta la solución a la ecuación.

Como resolver un ecuación cuadrática por factorización

Para resolver una ecuación cuadrática por cualquiera de los métodos de factorización debes cumplir:

1.- Se ordena la ecuación de forma decreciente, es decir, del termino de mayor exponente al de menor exponente.

2.- Se evalúa cual de los métodos se pueden aplicar (factor común, diferencia de cuadrado, cuadrado perfecto o trinomio de la forma $x^{2}+bx+c$ ). Por ejemplo: El factor común lo aplicamos cuando no se presenta el termino independiente, diferencia de cuadrado si hay un binomio y ambos términos tienen raíz cuadrada exacta y si es un trinomio evaluamos si es perfecto o no.

3.- Al obtener la expresión simplificada en un producto, se procede al calculo de las raíces del mismo, despejando cada producto, por ejemplo:

x(x+3)=0

donde

x=0 y

x+3=0 despejamos

x=-3

las raíces son x=0 y x=-3

Métodos de factorización

Dentro de los métodos de factorización aplicados en la resolución de ecuaciones cuadráticas se encuentran:

Factor común: Consiste en extraer el factor común o que se repite en los diferentes términos, de esta forma presentarlo como un producto dirigido a la aplicación de propiedad distributiva. Ejemplo:

$x^{2}+x=0$

en este caso el factor común es la variable o letra X, la cual extraemos con el menor exponente de los términos existentes y utilizamos los paréntesis;

$x(x+1)=0$

al extraer X le restamos uno a cada termino, por tanto $x^{2}$ queda como X y el otro termino se extrae completo, quedando el coeficiente que lo acompaña que para el caso es 1.

Diferencia de cuadrados: Se aplica en ecuaciones de segundo grado con dos términos restando, donde ambos tienen raíz cuadrada exacta. Evaluadas esas condiciones se procede a escribir dos pares de paréntesis, en su interior se anota el resultado de las raíces separados por un signo menos y el otro por el signo mas. Para comprender mejor resolveremos un ejercicio:

$x^{2}-36=o$

Calculamos la raíz cuadrada del primer y tercer término;

$\sqrt{x^{2}}=x$ y $\sqrt{36}=6$

Como ambas tienen raíz cuadrada exacta se escriben dos pares de paréntesis;

$( )( )=o$

Escribimos dentro cada paréntesis los resultados de las raíces, separados en una con el signo menos y el otro con el signo mas;

$(x-6)(x+6)=o$

Trinomio cuadrado perfecto: Para la aplicación de este método es necesario ordenar la ecuación de forma decreciente, donde la raíz del primer término y del tercero deben ser exactas; el producto del doble de los resultados de las raíces debe dar el segundo término. Si cumple con esto se escribe un par de paréntesis elevado al cuadrado donde en su interior van los resultados de las raíces cuadradas separados por el signo del segundo término. Veamos un ejemplo de como se aplica este método de factorización:

$x^{2}+2x+1=0$

calculamos la raíz cuadrada del primer término y del tercero;

$\sqrt{x^{2}}=x$ y $\sqrt{1}=1$

Como los resultados son exactos, estos se multiplican, para que posteriormente su producto se multiplica por dos;

2.x.1=2x

El resultado de dichos productos debe ser igual al segundo termino, de lo contrario no será un cuadrado perfecto, finalmente escribimos un par de paréntesis elevado al cuadrado;

$( )^{2}=0$

Dentro del paréntesis se escribe los resultados de la raíces, separado por el signo del segundo termino;

$(x+1)^{2}=0$

Trinomio de la forma x^2+bx+c=0: Esta ecuación cuadrática no cumple con la condición de cuadrado perfecto, para resolverlo debe tener el primer termino raíz cuadrada exacta, seguidamente se selecciona dos valores que al multiplicarlos de el valor C, esos mismos números al ser sumados o restados según sea el caso debe dar el valor de b. Finalmente se escribe dos pares de paréntesis en forma de producto, en su interior se escribe el resultado de la raíz, en el primer par de paréntesis va el signo del segundo termino y uno de los números seleccionados, el otro par de paréntesis va el signo producto del segundo por el tercero con el otro número seleccionado. Resolveremos un ejemplo para mejor entendimiento de la teoría:

$x^{2}-5x-24=0$

Se calcula la raíz cuadrada del primer término, la cual debe ser exacta;

$\sqrt{x^{2}}=x$

Escribimos dos pares de paréntesis con el resultado de la raíz antes calculada;

$(x )(x )=0$

En el primer par de paréntesis se escribe el signo del segundo termino, en el segundo par de paréntesis se escribe el resultado del producto de los signos del segundo y tercer termino es decir +;

$(x- )(x+ )=0$

Buscamos dos números que multiplicados de el tercer término;

8.3=24

Como los signos dentro del los paréntesis son diferentes procedemos a restar los números anteriores, se dice que son los adecuados si el resultado da el valor del segundo término;

3-8=-5, finalmente;

$(x-8)(x+3)=0$

Trinomio de la forma ax^2+bx+c: Si tenemos una ecuación de segundo grado donde el coeficiente de la incógnita al cuadrado es diferente de «1» y los coeficientes b y c son diferentes de cero, podemos aplicar este caso de factorización que consiste, en primer lugar, en hallar 2 números que sumados den el coeficiente lineal «b» y multiplicados nos den el coeficiente independiente «c», luego de esto, descomponemos el segundo término en 2 términos lineales cuyos coeficientes son los números hallados y finalmente, terminamos la factorización mediante alguna otra técnica que usualmente será la factorización por factor común. Veamos un ejemplo:

Consideremos la ecuación $2x^2 - 3x - 5 = 0$ .
Lo primero que se hace, generalmente, es verificar que no se trate de un trinomio cuadrado perfecto, en este caso claramente no lo es porque el tercer término no es cuadrado perfecto, entonces debemos buscar dos números que sumados nos den el coeficiente lineal que es «-3» y multiplicados nos den -10 que es el resultado de multiplicar el coeficiente cuadrático y el independiente (2 y -5).