Sistema de ecuaciones 3x3 - Ecuaciones 2.0

Anteriormente estudiamos la clasificación de un sistema de ecuaciones, diferenciando algunas de ellas por el numero de ecuaciones y de incógnitas que las conforman, tal es el caso de los sistemas de ecuaciones 3×3 que te presentamos a continuación.

Contenido

Sistema de ecuaciones 3×3

Los sistemas de ecuaciones 3×3 se caracterizan por tener tres ecuaciones con tres incógnitas, por ejemplo:

En el ejemplo tenemos tres ecuaciones con las incognitas x,y,z, donde el resultado de las misma satisfacen a las tres ecuaciones.

Métodos de resolución de un sistema de ecuaciones 3×3

Para resolver un sistema de ecuaciones 3×3 podemos aplicar varios métodos como:

.- Método de sustitución

.- Regla de Cramer.

.- Método de Gauss Jordan

Ejercicios de ecuaciones 3×3

Resolver las siguientes ecuaciones:

1.- $\left\{\begin{matrix} 2x+4y+3z=2 & & \\x-y-2z=0 & & \\3x-3y+4z=4 & & \\ \end{matrix}\right.$

Solución

aplicaremos el método de sustitución, considerando una ecuación despejamos una variable y la sustituimos en las otras ecuaciones;

$x-y-2z=0$

$x=y+2z$

sustituimos;

$\left\{\begin{matrix} 2(y+2z)+4y+3z=2 & & \\3(y+2z)-3y+4z=4 & & \\ \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} 2y+4z+4y+3z=2 & & \\3y+6z-3y+4z=4 & & \\ \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} 6y+7z=2 & & \\10z=4 & & \\ \end{matrix}\right.$

$10z=4$

despejamos z

$z=\frac{4}{10}$

$z=\frac{2}{5}$

sustituimos el valor de z en la ecuación $6y+7z=2$

$6y+7(\frac{2}{5})=2$

$6y+(\frac{14}{5})=2$

$6y=2-\frac{14}{5}$

$6y=\frac{10-14}{5}$

$y=\frac{4}{5.(6)}$

$y=\frac{2}{15}$

conociendo los valores de la variable (y) y la variable z, sustituimos en la primera ecuación;

$x=y+2z$

$x=\frac{2}{15}+2(\frac{2}{5})$

$x=\frac{2}{15}+(\frac{4}{5})$

$x=\frac{10+60}{75}$

$x=\frac{70}{75}$

la solución al sistema de ecuaciones 3×3 es $x=\frac{70}{75}$ , $y=\frac{4}{5.(6)}$ , $z=\frac{4}{10}$

2.- $\left\{\begin{matrix} 2x+6y+z=3 & & \\x-2y-7z=2 & & \\-x+2y+4z=1 & & \\ \end{matrix}\right.$

Solución

el siguiente sistema de ecuaciones lo resolveremos por regla de Cramer, para ello expresamos el sistema de ecuaciones en forma de determinante;

$\begin{vmatrix} 2 & 6 & 1 \\ 1 &-2&-7 \\ -1 & 2 &4 \\ \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 3\\2 \\1 \end{vmatrix}$

resolvemos el determinante;

$\begin{vmatrix} 2 & 6 & 1 \\ 1 &-2&-7 \\ -1 & 2 &4 \\ \end{vmatrix}=(-16+2+42)-(2-28+24)$

$\begin{vmatrix} 2 & 6 & 1 \\ 1 &-2&-7 \\ -1 & 2 &4 \\ \end{vmatrix}=(28)-(-2)$

$\begin{vmatrix} 2 & 6 & 1 \\ 1 &-2&-7 \\ -1 & 2 &4 \\ \end{vmatrix}=30$

calculamos el valor de la variable x sustituyendo el valor de la primera columna con los valores de los términos independientes;

$x=\frac{\begin{vmatrix} 3 & 6 & 1 \\ 2 &-2&-7 \\ 1 & 2 &4 \\ \end{vmatrix}}{30}$

$x=\frac{(-24+4-42)-(-2-42+48)}{30}$

$x=\frac{-66}{30}$

$x=\frac{-33}{15}$

calculamos la variable y, sustituyendo la segunda columna con los valores de los terminos independiente;

$y=\frac{\begin{vmatrix} 2& 3 & 1 \\ 1 &2&-7 \\ -1 & 1 &4 \\ \end{vmatrix}}{30}$

$y=\frac{34}{30}$

$y=\frac{17}{15}$

calculamos la variable z, sustituyendo la tercera columna con los valores de los terminos independiente;

$z=\frac{\begin{vmatrix} 2& 6 & 3 \\ 1 &-2&2 \\ -1 & 2 &1 \\ \end{vmatrix}}{30}$

$z=\frac{-30}{30}$

$z=-1$

la solución al sistema de ecuaciones es $x=\frac{-33}{15}$ , $y=\frac{17}{15}$ , $z=-1$ .

3.- $\left\{\begin{matrix} x-y=1 & & \\2x+6y-5z=-4 & & \\x+y-z=0 & & \\ \end{matrix}\right.$

Solución

resolvemos el sistema de ecuaciones por el método de Gauss, aplicando operaciones que permitan reducir algunas ecuaciones a una sola variable;

entre las operaciones a realizar esta multiplicar por dos los valores de la fila uno;

el resultado lo restamos a la fila dos obteniendo la nueva fila reducida;

la tercera fila la restamos con la fila uno para hacer cero el valor de la variable x;

para reducir la ultima fila la multiplicamos por cuatro y la restamos con la fila dos, quedando;

donde z=4, lo sustituimos en la segunda ecuación reducida;

$8y-5z=-6$

sustituimos el valor de z;

$8y-5.(4)=-6$

$8y-20=-6$

despejamo y;

$8y=-6+20$

$8y=14$

$y=\frac{14}{8}$

$y=\frac{7}{4}$

conocido el valor de(y) sustituimos en la primera ecuación reducida, así obtener el valor de la ultima variable;

$x-y=1$

$x-\frac{7}{4}=1$

$x=1+\frac{7}{4}$

$x=\frac{4+7}{4}$

$x=\frac{11}{4}$