Método de Gauss Jordan

Continuando con el estudio de los métodos para la resolución de sistemas de ecuaciones, te presentamos el métodos de Gauss Jordan, el cual es útil en sistemas con n número incógnitas.

El método de Gauss-Jordan, debe su nombre a los matemáticos Carl F. Gauss y Wilhelm Jordan, al presentar un algoritmo que determina la inversa de una matriz y las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales. En la actualidad existen programas matemáticos que lo utilizan para una gran variedad de cálculos en diferentes áreas tanto científicas como socioeconómicas.

Método de Gauss Jordan

El método de Gauss consiste en realizar operaciones elementales entre las filas o columnas de la matriz ampliada del sistema haciendo cero los coeficientes, de esta manera transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalente  escalonado o reducida, definida como Gauss Jordan.

Diferencia entre método de Gauss y Método de Gauss Jordan

La diferencia entre ambos métodos se centra  en que Gauss  consiste en hallar la forma escalonada de la matriz ampliada del sistema, es decir, una matriz triangular superior ampliada. de esta manera aplicar el teorema de Rocuhé-Frobenius. En cambio Gauss-Jordan permite hallar la forma escalonada reducida de la matriz ampliada del sistema.

Matriz escalonada

Para existir una matriz escalonas se debe cumplir:

1.- Si hay filas con valor cero o filas nulas se ubican de última.

2.- El primer elemento no nulo ubicado de izquierda a derecha de la primera fila, sólo tiene ceros debajo si y solo si la matriz es una única fila.

3.- Si se cumplen las condiciones anteriores, se dice que la matriz que resulta de eliminar la primera fila y columna cumple las mismas condiciones.

4.- Se puede transformar cualquier matriz en una matriz escalonada mediante operaciones elementales fila.

Matriz escalonada reducida

Entendemos por una matriz escalonada reducida cuando cumple:

1.- Tiene forma escalonada.

2.- Todos los pivotes son el número 1 y por debajo de éstos sólo hay ceros. En la forma escalonada reducida, un pivote es siempre 1 y suele llamarse «1 prinicipal».

3.- Cumple con el teorema;

Aplicación del método de Gauss-Jordan

Por medio de un ejercicios te explicaremos como se aplica el método de Gauss-Jordan.

Si tenemos el siguiente sistema de ecuaciones 3×3;

iniciamos ordenando los coeficientes en forma de matriz;

para transformar el -3 de la primera fila la multiplicamos por -1/3;

seguidamente hay que hacer cero el numero debajo del uno obtenido, para ello multiplicamos por -4 la fila 1 y le sumamos la fila 2;

necesitamos ahora hacer cero el 1 ubicado de primero en la tercera fila, para ello multiplicamos por -1 la primera fila (f1) y se la sumamos a la tercera (f3);

al multiplicar la fila 2 (f2) por  1/5 se obtiene;

ya calculada la matriz identidad, tenemos resuelto el sistema de ecuación lineal, donde;

x=1

y=0

z=2.