Ecuaciones de tercer grado [con ejercicios paso a paso]

En paginas anteriores estudiamos las ecuaciones de segundo grado caracterizadas por tener como mayor exponente el dos, en esta ocasión nos encontramos con otra ecuación donde su exponente mayor es tres denominada ecuación de tercer grado.

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Ecuaciones de tercer grado

Las ecuaciones de tercer grado son conocida también como ecuaciones cubicas, caracterizadas por tener su mayor exponente el tres.

La denotación general de la ecuación de tercer grado es $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ donde a es diferente a cero (a,b,c,d son numero reales o complejos).

Es importante señalar que en una ecuación cubica no es relevante la presencia del término cuadrático, término lineal o el término independiente, por ejemplo:

$4x^{3}-7x^{2}+5x+9=0$

$-8x^{3}=0$

$4x^{3}+5x+9=0$

$9x^{3}-12=0$

$4x^{3}-7x^{2}+9=0$

Historia de las ecuaciones de tercer grado

Históricamente se le reconoce a los Babilonios (alrededor del siglo IV A.C.) como los primeros matemáticos en resolver las ecuaciones cúbicas. El método que usaban en la resolución de dichas ecuaciones era el de completación de cuadrado, con la particularidad que todos los problemas tenían respuestas con valores positivas, dado que sus cálculos iban dirigido al calculo de distancia o longitudes.

Alrededor del siglo 300 A.C., Euclides desarrolló una aproximación geométrica para resolver ecuaciones cúbicas. Para el año 1074 Omar Kayyam (1048-1131) publica en su libro Álgebra, la resolución geométrica de diversos tipos de ecuaciones cúbicas.

La solución algebraica de la ecuación cúbica se le atribuye a Nicolo Fontana de Brescia más conocido como Tartaglia (Italiano; 1499-1557) aunque tal solución fue publicada en año 1545 por el matemático Cardano (Italiano; 1501-1576) en su libro Ars Magna. Posterior al logro de Tartaglia, varios matemáticos desarrollaron métodos algebraicos diferentes para resolver una ecuación cúbica como Francois Viete (Francés; 1540-1603), Tomas Harriot (Inglés; 1560-1621), etc.

Las soluciones encontradas para las ecuaciones de grado 2, 3 y 4, tenían la particularidad que ellas eran expresadas en término algebraicos, finalmente, para el año 1830, dos jóvenes matemáticos, Evaristo Galois (Francés; 1811-1832) y Niels Abel (Noruega; 1802-1829), probaron independiente uno del otro, que no es posible resolver ecuaciones de grado 5 o mayor usando expresiones algebraicas.

Discriminante de una ecuación de tercer grado

En ecuaciones se entiende como discriminante al calculo matemático para determinar cuanta soluciones tiene la ecuación. Para el caso de la cubica o de tercer grado se identifica también si el resultado de la raíces son reales o complejas.

El discriminante se denota como Δ y se presentan tres casos:

Discriminante positiva: Un discriminante positivo indica que la ecuación tiene tres soluciones reales distintas.
Discriminante cero: La ecuación tiene soluciones múltiples y todas ellas son reales, presentándose una solución triple o una solución doble junto a una solución simple.
Discriminante negativa: La ecuación tiene una solución real y dos soluciones complejas conjugadas.

Pare el calculo de la discriminante se aplica la formula:

$\Delta=b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd$

donde a,b,c,d son los coeficientes de la ecuación.

Resolución de ecuaciones de tercer grado

El método mas utilizado en la resolución de ecuación de tercer grado es el método de Ruffini, aunque en ocasiones dependiendo del numero de términos se puede aplicar factor común y la ecuación $x=\frac{-b\frac{+}{}\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ en el mismos ejercicios.

Ejercicios de ecuaciones cúbicas o de tercer grado:

Resolver las siguientes ecuaciones:

Ejercicio 1. $4x^{3}+20x^{2}+25x=0$

Solución

factorizamos por factor común;

$x(4x^{2}+20x+25)=0$

apicamos $x=\frac{-b\frac{+}{}\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

donde a=4 b=20 c=25

$x=\frac{-20\frac{+}{}\sqrt{20^{2}-4.(4)(25)}}{2.(4)}$

$x=\frac{-20\frac{+}{}\sqrt{400-400}}{8}$

$x=\frac{-20\frac{+}{}\sqrt{0}}{8}$

$x=\frac{-20+0}{8}$

simplificamos

$x=\frac{-5}{2}$

$x=\frac{-20-0}{8}$

$x=\frac{-5}{2}$

$x(x+\frac{5}{2})(x+\frac{5}{2})=0$

si despejamos las variable la solución a la ecuación es;

$x=0$

$x=\frac{-5}{2}$

Ejercicio 2. $x^{3}-2x^{2}-x+2=0$

Solución

aplicamos el método de Ruffini, para ello extraemos los coeficiente en orden decreciente;

1 -2 -1 2

te recomendamos revisar la pagina de factorización por método de Ruffini. Recordemos que seleccionamos un múltiplo del ultimo coeficiente para proceder a su eliminación, repitiendo el procedimiento hasta quedar el primer coeficiente, veamos como;