Regla de Cramer

En la resolución de sistemas de ecuaciones, muchos matemáticos dieron grandes aporte, como lo es el caso de Gabriel Cramer, matemático, profesor y catedrático de la Universidad de Ginebra, el cual publico la obra denominada Introducción al análisis de las curvas algebraicas, donde clasifica las curvas según el grado de las ecuaciones, de igual forma establece un teorema del álgebra lineal que lleva su nombre (Regla de Cramer).

Regla de Cramer

La regla de Cramer es una expresión algebraica en términos de determinantes, para la búsqueda de las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales con tantas ecuaciones como incógnitas, siempre y cuando el sistema tenga una solución única.

Consideraciones de la Regla de Cramer

Dentro de las consideraciones para su aplicación se encuentran:

1.- El número de ecuaciones debe ser igual al número de incógnitas, es decir, la matriz debe ser cuadrada.

2.- El determinante de la matriz de los coeficientes deber ser distinto a cero.

La regla de Cramer es practico en la resolución de sistemas de ecuaciones 2×2 y sistema de ecuaciones 3×3, siendo bastante engorrosos con sistemas de mayores ecuaciones e incógnitas, pero sigue siendo aplicable.

Aplicación de la regla de Cramer

Para aplicar esta regla, es necesario hallar  la matriz ampliada, la cual está asociada al sistema de ecuaciones, donde la primera columna estará formada por los coeficientes de la primera incógnita de las ecuaciones.

Por ejemplo si tenemos un sistema de ecuaciones 2×2 la expresión matricial quedaría;

donde X y Y son las variable, resaltando que dependiendo del numero de ecuaciones e incógnita la expresión se agranda.

Luego de realizado esto, podemos proceder a calcular el determinante de la primera matriz, cuyo resultado dividirá los resultados de tres determinante posteriores, correspondientes al calculo de las incógnitas x,y ó z según  sea el caso.

Es aquí, en este procedimiento que aplicamos la denominada regla de Cramer, consistiendo en ir sustituyendo la primera columna de la determinante inicial por los términos independientes, dividida por el resultado antes obtenido, de esta forma conseguir el valor de X. El procedimiento se repite para las otras variables cambiando el valor de las columna dos y/0 tres respectivamente.

La formula general para un sistema de ecuaciones 2×2 sería:

Ejemplo de la Regla de Cramer

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones aplicando la regla de Cramer:

Solución

Te recomendamos revisar la pagina de sistemas de ecuaciones 3×3 donde se presenta la resolución de un sistema a partir de la regla de Cramer.