Método de igualación para sistemas de ecuaciones de 2x2 y 3x3

Recordemos que en álgebra se define como sistema de ecuaciones al conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas, donde para encontrar una solución en común es necesario aplicar una serie de procedimientos matemáticos como es el caso del Método de igualación.

Contenido

Método de igualación

El método de igualación consiste en despejar la misma incógnita ó variable en las dos ecuaciones para posteriormente igualar, de esta forma dejar la expresión en función a una sola variable así finalmente obtener un resultado o valor de dicha variable.

Pasos en la aplicación del método de igualación

Para aplicar este métodos seguiremos los pasos:

1.- Ordenamos las ecuaciones, manteniendo el mismo orden en las variables de cada ecuación.

2.- Despejamos una de las variable de la primera ecuación, considerando las reglas para despejes.

3.- Despejamos la misma variable pero en la segunda ecuación.

4.- Igualamos las ecuaciones, despejando la variable común y resolvemos las operaciones para obtener el valor de dicha incógnita.

5.- Conocido el valor de una de las incógnita, se selecciona una de las ecuaciones despejada en el paso dos o tres, sustituyendo el valor en una de ellas, para finalmente conseguir la incógnita faltante.

Ejemplo de la aplicación del método de igualación

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de igualación:

$\left\{\begin{matrix} 5x+4y=8& \\ 2x-3y=5& \\ \end{matrix}\right.$

Solución

despejamos la variable X en ambas ecuaciones, tu puedes seleccionar otra variable para aplicar el método;

$5x+4y=8$

$5x=8-4y$

$x=\frac{8-4y}{5}$

$2x-3y=5$

$2x=5+3y$

$x=\frac{5+3y}{2}$

despejadas las variables, igualamos las ecuaciones;

$\frac{8-4y}{5}=\frac{5+3y}{2}$

despejamos la variable Y;

$2(8-4y)=5(5+3y)$

$16-8y=25+15y$

$-8y-15y=25-16$

$-23y=9$

$y=\frac{9}{-23}$

conocido el valor de Y lo sustituimos en cualquiera de las otras ecuaciones;

$x=\frac{5+3y}{2}$

$x=\frac{5+3(\frac{9}{-23})}{2}$

$x=\frac{(\frac{115-27}{23})}{2}$

$x=\frac{-88}{46}$

$x=\frac{-44}{23}$

$\left\{\begin{matrix} x+y+z=2 & & \\ x+2y+2z=4 & & \\ x+3y-z=3& & \\ \end{matrix}\right.$

Solución

es de acotar que este método se puede aplicar en un sistema de ecuaciones de 3×3 pero no es el mas recomendable, existen otros mas prácticos, pero veamos como se resuelven por igualación;

despejemos la misma variable de cada ecuación;

x+y+z=2

x=2-y-z (ecuación 1)

x+2y+2z=4

x=4-2y-2z (ecuación 2)

x+3y–z=3

x=3-3y+z (ecuación 3)

igualamos dos ecuaciones la de tu parecer, en este caso sera ecuación 1 y 2;

2-y-z=4-2y-2z

simplificamos;

-y-z+2y+2z=4-2

y+z=2 (ecuación 4)

igualamos nuevamente dos ecuaciones donde este incluida la ecuación 3;

2-y-z=3-3y+z

agrupamos términos y simplificamos;

-y-z+3y-z=3-2

2y-2z=1 (ecuación 5)

seguidamente despejamos una misma variable de las ecuaciones 4 y 5, igualándola posteriormente;

y+z=2

y=2-z

2y-2z=1

y=(1+2z)/2

2-z=(1+2z)/2

despejamos Z;

2(2-z)=1+2z

4-2z=1+2z

-2z-2z=1-4

-4z=-3

z=3/4

conociendo el valor de Z, lo sustituimos en la ecuación 4 para conseguir el valor de Y;

y+z=2

y+3/4=2

y=2-3/4

y=(8-3)/4

y=5/4

finalmente calculamos el valor de X, utilizando la ecuación 1;

x=2-y-z

x=2-5/4-3/4

x=2-8/4

x=0