Ecuaciones de primer grado con fracciones

Las ecuaciones de primer grado o ecuaciones lineales como ya las hemos estudiado anteriormente, son aquellas cuya variable tiene exponente uno, donde para su resolución se aplica una serie de procedimiento acorde a las operaciones que presente así como a la características de sus números, es decir, se aplicaran propiedades en concordancia a la los números naturales, enteros, irracionales, entre otros.

Ecuaciones de primer grado con fracciones

Las fracciones pertenecen a la familia de los números racionales, es un tipo de número considerado como una división o un cociente entre dos números llamado numerador y denominador como se observa a continuación:

Las ecuaciones de primer grado pueden presentar fracciones como parte de sus términos, esto solo indica que debemos estudiar algunas propiedades de las fracciones para poder facilitar la resolución de los ejercicios.

Una ecuación de primer grado con fracciones serian:

Propiedades de las fracciones

Propiedad conmutativa: La suma de dos fracciones cualesquiera no depende del orden de los sumandos.

Propiedad asociativa: La suma de varias fracciones no dependen del orden en que se asocien.

Elemento neutro para la suma: El elemento neutro para la suma de fracciones es el cero porque si a cualquier fracción le sumamos el cero, obtenemos la misma fracción.

Elemento opuesto o simétrico: Las fracciones opuestas o simétricas son fracciones que si se suman el resultado es cero.

Operaciones con fracciones

Las operaciones básicas se pueden aplicar a las fracciones por ejemplo:

Suma y resta de fracciones

Si las fracciones tienen el mismo denominador, se suman o restan los numeradores y se pone el mismo denominador. Si por el contrario las fracciones tienen distintos denominadores, primero se reducen a común denominador procediendo a multiplicar el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda, este sería el nuevo numerador; multiplicamos el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda y sería el nuevo denominador, es decir, se hace una multiplicación cruzada, al final simplemente simplificamos.

Multiplicación de fracciones

Se procede a multiplicar numerador de una fracción con el numerador de la segunda fracción, de igual forma se multiplica el denominador de una fracción por el denominador de la otra.

División de fracciones

Se aplica el procedimiento de la doble C, multiplicando el numerador de una fracción por el denominador de la otra fracción dando como resultado el numerador de la nueva fracción; seguidamente se multiplica el numerador de una fracción superior por el numerador de la otra, convirtiendo el resultado en el denominador de la nueva fracción.

Estrategias para simplificar ecuaciones con fracciones

Resolver ecuaciones de primer grado con fracciones puede ser más sencillo si aplicamos estrategias adecuadas. Aquí te presentamos algunos **métodos efectivos** para facilitar el proceso:

1. Utilizar el mínimo común múltiplo (mcm)

Uno de los métodos más eficaces para eliminar fracciones es multiplicar toda la ecuación por el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores. Esto convierte la ecuación en una sin fracciones, facilitando su resolución.

Por ejemplo, en la ecuación:

$\frac{2x}{3} + \frac{5}{6} = \frac{7}{4}$

El mcm de 3, 6 y 4 es 12, por lo que multiplicamos todo por 12:

$12 \times \left( \frac{2x}{3} \right) + 12 \times \left( \frac{5}{6} \right) = 12 \times \left( \frac{7}{4} \right)$

Al simplificar, obtenemos:

$8x + 10 = 21$

Y ahora la ecuación se puede resolver fácilmente.

2. Convertir fracciones mixtas en fracciones impropias

Si la ecuación contiene fracciones mixtas, conviértelas en fracciones impropias antes de operar.

Ejemplo:

$1 \frac{2}{3} x + \frac{5}{6} = \frac{4}{3}$

Se convierte en:

$\frac{5}{3} x + \frac{5}{6} = \frac{4}{3}$

Ahora se puede proceder con los métodos habituales.

3. Aplicar la propiedad distributiva antes de operar

Si la ecuación contiene paréntesis, expándelos primero usando la propiedad distributiva para simplificar la expresión.

Ejemplo:

$\frac{2}{5} (3x - 4) = \frac{6}{10}$

Distribuimos la fracción:

$\frac{6x}{5} - \frac{8}{5} = \frac{6}{10}$

Ahora podemos eliminar denominadores multiplicando por 10.

4. Verificar con fracciones equivalentes

A veces, convertir las fracciones en otras equivalentes con un denominador común puede facilitar la resolución.

Ejemplo:

$\frac{x}{4} + \frac{1}{2} = \frac{5}{8}$

Convertimos 1/2 a 4/8, y la ecuación se transforma en:

$\frac{x}{4} + \frac{4}{8} = \frac{5}{8}$

Que se puede reescribir como:

$\frac{x}{4} = \frac{1}{8}$

Multiplicando por 4, obtenemos x = 1/2.

5. Usar pruebas de sustitución para comprobar resultados

Después de resolver la ecuación, sustituye el valor de la incógnita en la ecuación original para asegurarte de que el resultado es correcto.

Ejercicios de ecuaciones de primer grado con fracciones

Resolver las siguientes ecuaciones:

$x +\frac{5}{3}=2$

Solución

iniciamos despejando el termino que no posee variable o letra, recordando que si esta sumando pasa al otro lado de la igualdad restando;

$x=2-\frac{5}{3}$

$x=\frac{2.3 -5}{3}$

$x=\frac{6-5}{3}$

$x=\frac{1}{3}$

$\frac{5x}{2}-\frac{1}{4}=\frac{7}{4}$

Solución

$\frac{5x}{2}=\frac{7}{4}+\frac{1}{4}$

$\frac{5x}{2}=\frac{7+1}{4}$

$\frac{5x}{2}=\frac{8}{4}$

$\frac{5x}{2}=2$

para despejar la variable, el número que divide pasa al otro lado de igualdad multiplicando, el valor que multiplica pasa a dividir;

$x=\frac{2.2}{5}$

$x=\frac{4}{5}$

$\frac{3x}{7}+\frac{x}{3}=\frac{1}{3}$

Solución

$\frac{3.3x+7x}{7.3}=\frac{1}{3}$

$\frac{9x+7x}{21}=\frac{1}{3}$

$\frac{16x}{21}=\frac{1}{3}$

$x=\frac{1.21}{3.16}$

$x=\frac{21}{48}$

$\frac{3x+4}{2}=6$

Solución

En este caso iniciamos despejando el denominador;

$3x+4=6.(2)$

seguidamente despejamos el termino sin variable;

$3x+4=12$

$3x=12-4$

finalmente espejamos la variable o la letra;

$3x=8$

$x=\frac{8}{3}$