Fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas (Ejercicios)

Hasta el momento hemos estudiados los diferentes métodos para la resolución de ecuaciones se segundo grado, observando que algunos de ellos solo son prácticos para cierto tipo de éstas, caso que no ocurre con la formula general, la cual permite aplicarla para cualquier tipo de ecuaciones cuadráticas y que desarrollaremos su aplicación a continuación.

Contenido

¿Qué es la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas?

La fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas es una herramienta poderosa que nos brinda una metodología sistemática para encontrar las soluciones de cualquier ecuación cuadrática, sin importar su complejidad. Esta fórmula se basa en la idea de despejar la variable x de la ecuación ax² + bx + c = 0, utilizando el método de completar el cuadrado.

Al aplicar la fórmula general, primero identificamos los coeficientes a, b y c de la ecuación cuadrática dada. Luego, sustituimos estos valores en la fórmula general y realizamos las operaciones matemáticas correspondientes para obtener las soluciones reales o complejas de la ecuación. Es importante recordar que la condición a ≠ 0 debe cumplirse para garantizar que la ecuación sea cuadrática.

¿Cuál es la formula general de las ecuaciones cuadráticas?

La fórmula general de una ecuación cuadrática es una expresión algebraica que nos permite encontrar las soluciones (raíces) de la ecuación de segundo grado, ax² + bx + c = 0, donde a, b y c son coeficientes constantes y a ≠ 0. Esta fórmula, también conocida como la fórmula cuadrática, se deriva a través del método de completar el cuadrado y proporciona una solución general para cualquier ecuación cuadrática, independientemente de los valores de los coeficientes.

La fórmula general se expresa como:

$x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}}$

Donde «±» denota dos posibles soluciones, una suma y una resta, y a, b y c son los coeficiente de los términos de la ecuación cuadrática ordenada de forma descendiente, por ejemplo:

si tenemos la ecuación cuadrática;

$6x^{2}+5x+7=0$

los valores de a,b,c son:

a=6 b=5 c=7

Discriminante de una ecuación cuadrática

El discriminante es un componente crucial de la fórmula general resolvente cuadrática y desempeña un papel fundamental en determinar la naturaleza y la cantidad de soluciones que tiene una ecuación cuadrática. En esencia, el discriminante es una expresión matemática que se calcula a partir de los coeficientes de la ecuación cuadrática y que nos proporciona información sobre las raíces de la ecuación.

Matemáticamente, el discriminante, denotado comúnmente por la letra griega Δ (delta), se calcula mediante la expresión:

$\Delta = b^2 - 4ac$

Donde «a», «b» y «c» son los coeficientes de la ecuación cuadrática estándar $ax^2 + bx + c = 0$ .

El discriminante puede tener tres posibles valores distintos:

Si $\Delta > 0$ : Esto indica que la ecuación cuadrática tiene dos soluciones reales distintas. En términos geométricos, esto significa que la parábola representada por la ecuación cuadrática intersecta el eje x en dos puntos diferentes.
Si $\Delta = 0$ : Esto significa que la ecuación cuadrática tiene una única solución real, lo que se conoce como una raíz doble. Geométricamente, esto implica que la parábola toca el eje x en un solo punto.
Si $\Delta < 0$ : En este caso, la ecuación cuadrática no tiene soluciones reales. Sin embargo, sí tiene soluciones complejas conjugadas, un tema que es objeto de estudio en cursos posteriores y que por el momento nos limitaremos a decir que no tiene soluciones reales.

Cómo se aplica la formula general o cuadrática

Para la aplicación de esta formula se recomienda seguir los siguientes pasos:

1.- Se aplica solo en ecuaciones de segundo grado.

2.- Se deben ordenar los términos de forma descendiente.

3.- La ecuación debe estar igualada a cero por ejemplo $8x^{2}-4x-6=0$ , de no ser así, el valor al lado derecho de la igual se escribe con signo contrario a ambos lado de la igualdad, por ejemplo:

$2x^{2}-6x+7=4$

$2x^{2}-6x+7-4=4-4$

$2x^{2}-6x+3=0$

4.- Seguidamente identificamos los valores de a, b y c, teniendo en cuenta los signos de cada coeficiente, es decir, si tenemos $2x^{2}-6x-3=0$ entonces a=2, b=-6 y c=-3.

5.- La expresión $b^{2}-4ac$ considerada como la expresión discretamente, determina el numero de resultados de la aplicación de la fórmula.

6.- Finalmente se sustituyen los valores de a, b y c en la fórmula y se realizan las operaciones básicas.

Ejercicios de ecuaciones cuadráticas por formula general

Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado:

Ejercicio 1: $3x^{2}-4x+1=0$

Solución

Para resolver esta ecuación cuadrática, primero identificamos los valores de los coeficientes a, b y c:

$a = 3, \quad b = -4, \quad c = 1$

Ahora, aplicamos la fórmula general para encontrar las soluciones $x$ :

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

Sustituyendo los valores conocidos:

$x=\frac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^{2}-4(3)(1)}}{2 \times 3}$

Luego, realizamos los cálculos correspondientes:

$x=\frac{4\pm\sqrt{16-12}}{6}$

$x=\frac{4\pm\sqrt{4}}{6}$

$x=\frac{4\pm 2}{6}$

Por lo tanto, las soluciones son:

$x=\frac{4+ 2}{6}=\frac{6}{6}=1$

$x=\frac{4- 2}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

Entonces, las soluciones de la ecuación son $x_{1}=1$ y $x_{2}=\frac{1}{3}$ .

Ejercicio 2: $x^{2}+5x+6=0$

Solución

En este ejercicio, los coeficientes son:

$a = 1, \quad b = 5, \quad c = 6$

Aplicamos la fórmula general:

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

Sustituyendo los valores conocidos:

$x=\frac{-5\pm\sqrt{5^{2}-4(1)(6)}}{2 \times 1}$

Realizamos los cálculos correspondientes:

$x=\frac{-5\pm\sqrt{25-24}}{2}$

$x=\frac{-5\pm\sqrt{1}}{2}$

$x=\frac{-5\pm 1}{2}$

Entonces, las soluciones son:

$x=\frac{-5+ 1}{2}=\frac{-4}{2}=-2$

$x=\frac{-5- 1}{2}=\frac{-6}{2}=-3$

Por lo tanto, las soluciones de la ecuación son $x_{1}=-2$ y $x_{2}=-3$ .

Ejercicio 3: $2x^{2}-9x+7=0$

Solución

Los coeficientes son:

$a = 2, \quad b = -9, \quad c = 7$

Aplicamos la fórmula general:

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

Sustituimos los valores conocidos:

$x=\frac{-(-9)\pm\sqrt{(-9)^{2}-4(2)(7)}}{2 \times 2}$

Realizamos los cálculos correspondientes:

$x=\frac{9\pm\sqrt{81-56}}{4}$

$x=\frac{9\pm\sqrt{25}}{4}$

$x=\frac{9\pm 5}{4}$

Por lo tanto, las soluciones son:

$x=\frac{9+ 5}{4}=\frac{14}{4}=3.5$

$x=\frac{9- 5}{4}=\frac{4}{4}=1$

Entonces, las soluciones de la ecuación son $x_{1}=3.5$ y $x_{2}=1$ .

Ejercicio 4: $4x^{2}+12x+9=0$

Solución

En este ejercicio, los coeficientes son:

$a = 4, \quad b = 12, \quad c = 9$

Aplicamos la fórmula general:

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

Sustituyendo los valores conocidos:

$x=\frac{-12\pm\sqrt{12^{2}-4(4)(9)}}{2 \times 4}$

Realizamos los cálculos correspondientes:

$x=\frac{-12\pm\sqrt{144-144}}{8}$

$x=\frac{-12\pm\sqrt{0}}{8}$

$x=\frac{-12\pm 0}{8}$

Entonces, las soluciones son:

$x=\frac{-12+ 0}{8}=\frac{-12}{8}=-1.5$

$x=\frac{-12- 0}{8}=\frac{-12}{8}=-1.5$

Las soluciones de la ecuación son $x_{1}=-1.5$ y $x_{2}=-1.5$ .

Ejercicio 5: $x^{2}-6x+9=0$

Solución

Los coeficientes son:

$a = 1, \quad b = -6, \quad c = 9$

Aplicamos la fórmula general:

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

Sustituimos los valores conocidos:

$x=\frac{-(-6)\pm\sqrt{(-6)^{2}-4(1)(9)}}{2 \times 1}$

Realizamos los cálculos correspondientes:

$x=\frac{6\pm\sqrt{36-36}}{2}$

$x=\frac{6\pm\sqrt{0}}{2}$

$x=\frac{6\pm 0}{2}$

Entonces, las soluciones son:

$x=\frac{6+ 0}{2}=\frac{6}{2}=3$

$x=\frac{6- 0}{2}=\frac{6}{2}=3$

Por lo tanto, las soluciones de la ecuación son $x_{1}=3$ y $x_{2}=3$ .

Ejercicio 6: $2x^{2}+7x+3=0$

Solución

En este ejercicio, los coeficientes son:

$a = 2, \quad b = 7, \quad c = 3$

Aplicamos la fórmula general:

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

Sustituyendo los valores conocidos:

$x=\frac{-7\pm\ sqrt{7^{2}-4(2)(3)}}{2 \times 2}$

Realizamos los cálculos correspondientes:

$x=\frac{-7\pm\sqrt{49-24}}{4}$

$x=\frac{-7\pm\sqrt{25}}{4}$

$x=\frac{-7\pm 5}{4}$

Entonces, las soluciones son:

$x=\frac{-7+ 5}{4}=\frac{-2}{4}=-0.5$

$x=\frac{-7- 5}{4}=\frac{-12}{4}=-3$

Por lo tanto, las soluciones de la ecuación son $x_{1}=-0.5$ y $x_{2}=-3$ .

Ejercicio 7: $3x^{2}-2x-8=0$

Solución

Los coeficientes son:

$a = 3, \quad b = -2, \quad c = -8$

Aplicamos la fórmula general:

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

Sustituimos los valores conocidos:

$x=\frac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^{2}-4(3)(-8)}}{2 \times 3}$

Realizamos los cálculos correspondientes:

$x=\frac{2\pm\sqrt{4+96}}{6}$

$x=\frac{2\pm\sqrt{100}}{6}$

$x=\frac{2\pm 10}{6}$

Entonces, las soluciones son:

$x=\frac{2+ 10}{6}=\frac{12}{6}=2$

$x=\frac{2- 10}{6}=\frac{-8}{6}=\frac{-4}{3}$

Por lo tanto, las soluciones de la ecuación son $x_{1}=2$ y $x_{2}=\frac{-4}{3}$ .

Ejercicio 8: $4x^{2}-12x+9=0$

Solución

Para resolver esta ecuación cuadrática, primero identificamos los valores de los coeficientes a, b y c:

$a = 4, \quad b = -12, \quad c = 9$

Ahora, aplicamos la fórmula general para encontrar las soluciones $x$ :

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

Sustituyendo los valores conocidos:

$x=\frac{-(-12)\pm\sqrt{(-12)^{2}-4(4)(9)}}{2 \times 4}$

Luego, realizamos los cálculos correspondientes:

$x=\frac{12\pm\sqrt{144-144}}{8}$

$x=\frac{12\pm\sqrt{0}}{8}$

$x=\frac{12\pm 0}{8}$

Entonces, las soluciones son:

$x=\frac{12+ 0}{8}=\frac{12}{8}=1.5$

$x=\frac{12- 0}{8}=\frac{12}{8}=1.5$

Las soluciones de la ecuación son $x_{1}=1.5$ y $x_{2}=1.5$ .

Ejercicio 9: $x^{2}-3x+2=0$

Solución

Los coeficientes son:

$a = 1, \quad b = -3, \quad c = 2$

Aplicamos la fórmula general:

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

Sustituimos los valores conocidos:

$x=\frac{-(-3)\pm\sqrt{(-3)^{2}-4(1)(2)}}{2 \times 1}$

Realizamos los cálculos correspondientes:

$x=\frac{3\pm\sqrt{9-8}}{2}$

$x=\frac{3\pm\sqrt{1}}{2}$

$x=\frac{3\pm 1}{2}$

Entonces, las soluciones son:

$x=\frac{3+ 1}{2}=\frac{4}{2}=2$

$x=\frac{3- 1}{2}=\frac{2}{2}=1$

Por lo tanto, las soluciones de la ecuación son $x_{1}=2$ y $x_{2}=1$ .

Ejercicio 10: $2x^{2}-x-3=0$

Solución

En este ejercicio, los coeficientes son:

$a = 2, \quad b = -1, \quad c = -3$

Aplicamos la fórmula general:

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

Sustituyendo los valores conocidos:

$x=\frac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^{2}-4(2)(-3)}}{2 \times 2}$

Realizamos los cálculos correspondientes:

$x=\frac{1\pm\sqrt{1+24}}{4}$

$x=\frac{1\pm\sqrt{25}}{4}$

$x=\frac{1\pm 5}{4}$

Entonces, las soluciones son:

$x=\frac{1+ 5}{4}=\frac{6}{4}=1.5$

$x=\frac{1- 5}{4}=\frac{-4}{4}=-1$

Por lo tanto, las soluciones de la ecuación son $x_{1}=1.5$ y $x_{2}=-1$ .

Ejercicio 11: $3x^{2}+x-4=0$

Solución

Los coeficientes son:

$a = 3, \quad b = 1, \quad c = -4$

Aplicamos la fórmula general:

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

Sustituimos los valores conocidos:

$x=\frac{-1\pm\sqrt{1^{2}-4(3)(-4)}}{2 \times 3}$

Realizamos los cálculos correspondientes:

$x=\frac{-1\pm\sqrt{1+48}}{6}$

$x=\frac{-1\pm\sqrt{49}}{6}$

$x=\frac{-1\pm 7}{6}$

Entonces, las soluciones son:

$x=\frac{-1+ 7}{6}=\frac{6}{6}=1$

$x=\frac{-1- 7}{6}=\frac{-8 }{6}=-\frac{4}{3}$

Por lo tanto, las soluciones de la ecuación son $x_{1}=1$ y $x_{2}=-\frac{4}{3}$ .

Ejercicio 12: $4x^{2}-16=0$

Solución

Para resolver esta ecuación cuadrática, primero identificamos los valores de los coeficientes a, b y c:

$a = 4, \quad b = 0, \quad c = -16$

Aplicamos la fórmula general para encontrar las soluciones $x$ :

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

Sustituyendo los valores conocidos:

$x=\frac{-0\pm\sqrt{0^{2}-4(4)(-16)}}{2 \times 4}$

Luego, realizamos los cálculos correspondientes:

$x=\frac{0\pm\sqrt{0+256}}{8}$

$x=\frac{0\pm\sqrt{256}}{8}$

$x=\frac{0\pm 16}{8}$

Entonces, las soluciones son:

$x=\frac{0+ 16}{8}=\frac{16}{8}=2$

$x=\frac{0- 16}{8}=\frac{-16}{8}=-2$

Las soluciones de la ecuación son $x_{1}=2$ y $x_{2}=-2$ .

Fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas

¿Qué es la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas?

¿Cuál es la formula general de las ecuaciones cuadráticas?

Discriminante de una ecuación cuadrática

Cómo se aplica la formula general o cuadrática

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